Question

【题目】如图，菱形ABCD与等边△PAD所在的平面相互垂直，AD=2，∠DAB=60°．

（Ⅰ）证明：AD⊥PB；
（Ⅱ）求三棱锥C﹣PAB的高．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：取AD中点O，连结OP、OB、BD，
∵菱形ABCD与等边△PAD所在的平面相互垂直，
AD=2，∠DAB=60°．
∴OP⊥AD，BO⊥AD，
∵OP∩BO=O，∴AD⊥平面POB，
∵PB平面POB，∴AD⊥PB．
（Ⅱ）解：法一：∵菱形ABCD与等边△PAD所在的平面相互垂直，AD=2，∠DAB=60°．
∴BO=PO= = ，PB= = ，
∴ = ，
= ．
设点C到平面PAB的距离为h，
∵VC﹣PAB=VP﹣ABC ，
∴ ，
∴h= = = ．
∴三棱锥C﹣PAB的高为 ．
法二：以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0， ，0），C（﹣2， ，0），P（0，0， ），
=（1，0，﹣ ）， =（0， ，﹣ ）， =（﹣2， ，﹣ ），
设平面PAB的法向量 =（x，y，z），
则 ，
取z=1，得 =（ ），
∴点C到平面PAB的距离h= = = ，
∴三棱锥C﹣PAB的高为 ．

【解析】（Ⅰ）取AD中点O，连结OP、OB、BD，推导出AD⊥平面POB，由此能证明AD⊥PB．（Ⅱ）法一：设点C到平面PAB的距离为h，由VC﹣PAB=VP﹣ABC ， 能求出三棱锥C﹣PAB的高．
法二：以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥C﹣PAB的高．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的性质的相关知识点，需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行才能正确解答此题．