Question

【题目】如图，已知二次函数y=ax2+ 的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B，C，点C坐标为（8，0），连AB，AC，点N在线段BC上运动（不与点B，C重合）过点N作NM∥AC，交AB于点M．

（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与以点A，B，O为顶点的三角形相似时，求点N的坐标；
（3）当△AMN面积等于3时，直接写出此时点N的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵图象与y轴交于点A（0，4），

∴m=4．把点C的坐标代入函数解析式，得a=﹣ ．

二次函数解析式为y=﹣ x2+ x+4．

当y=0时，﹣ x2+ x+4=0，解得x=8，x=﹣2．

∴点B的坐标为（﹣2，0）．

∴AB2=BO2+AO2=20，AC2=AO2+OC2=80．

∵BC2=（BO+OC）2=100，

在△ABC中，AB2+AC2=BC2．

∴△ABC是直角三角形

（2）

解：设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，

∵∠AOB=∠NMA=90°，

∴有两种情况．

①当 = = 时，易得∠BAO=∠ANM=∠BNM．

∴NB=NA，

∴BN2=NA2，

即（n+2）2=n2+42，解得n=3，此时N（3，0），

②当 = =2时，d点N与原点O重合，

∴此时N（0，0）

（3）

解：设点N的坐标为（n，0），﹣2＜n＜8，则BN=n+2，

过M点作MD⊥x轴于点D，

，

∵MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，

∴ = ．

∵MN∥AC， = ，

∴ = ．

∵OA=4，BC=10，BN=n+2，

∴MD= （n+2）．

∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN=﹣ （n﹣3）2+5=3，

解得n=3 ，

∴N点坐标为（3+ ，0）（3﹣ ，0）

【解析】（1）根据待定系数法可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得B点坐标，根据勾股定理及逆定理，可得答案；（2）根据相似三角形的性质，可得 = = ，根据BN与AN的关系，可得n，可得答案；（3）根据相似三角形的判定与性质，等量代换，可得， = ，可得MD，根据面积的和差，可得n的值，可得答案．
【考点精析】掌握二次函数的概念和二次函数的图象是解答本题的根本，需要知道一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数；二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．