Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G、F两点．

（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？

Answer 1

【答案】
（1）

证明：过点O作OM⊥AB，垂足是M．

∵⊙O与AC相切于点D．

∴OD⊥AC，

∴∠ADO=∠AMO=90°．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠DAO=∠NAO，

∴OM=OD．

∴AB与⊙O相切；

（2）

解：过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF．

∵O是BC的中点，

∴OB=2．

在直角△OBM中，∠MBO=60°，

∴OM=OBsin60°=，BM=OBcos60°=1．

∵BE⊥AB，

∴四边形OMBN是矩形．

∴ON=BM=1，BN=OM=．

∵OF=OM=，

由勾股定理得NF=．

∴BF=BN+NF=+．

【解析】（1）过点O作OM⊥AB，垂足是M，证明OM等于圆的半径OD即可；
（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，则四边形OMBN是矩形，在直角△OBM利用三角函数求得OM和BM的长，则BN和ON即可求得，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，则BF即可求解．