Question

16．在?ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足，求证：四边形AECF是平行四边形．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质可得出AD=CB，AD∥CB，再由平行线的性质得出∠ADE=∠CBF；由AE⊥BD，CF⊥BD可得出∠AED=∠CFB和AE∥CF，此时已找齐满足全等三角形的判定定理AAS的条件，从而证得△AED≌△CFB，即得出AE=CF，结合平行四边形的判定定理即可得出四边形AECF是平行四边形．

解答 证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∴∠ADE=∠CBF．
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，AE∥CF．
在△AED和△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠CFB}\\{∠ADE=∠CBF}\\{AD=CB}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFB（AAS），
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定及性质、平行线的判定及性质和全等三角形的判定及性质，解题的关键是找出AE=CF且AE∥CF．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过全等三角形的性质找出相等的角（或边）是关键．