Question

【题目】如图4，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0），交y轴于点C，且S△ABC=16．

（1）求点C的坐标；

（2）求抛物线的解析式及其对称轴；

（3）若正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上），求S正方形DEFG．

Answer 1

【答案】（1）（0，8）；（2）y=x2﹣x+8，其对称轴为直线x=4；（3）4

【解析】

（1）由S△ABC＝×AB×OC求出OC的长度，进而确定C点坐标；（2）因为抛物线经过点A（2，0），B（6，0），故可以设二次函数的交点式，即y＝a（x﹣2）（x﹣6），再将C点坐标代入即可求得解析式,进一步得到对称轴；（3）设正方形DEFG的边长为m，再根据题中的条件列出正确的D、E坐标，再将E点坐标代入二次函数求出边长m，进一步求得正方形DEFG的面积.

（1）∵A（2，0），B（6，0），

∴AB＝6﹣2＝4．

∵S△ABC＝16，

∴×4OC＝16，

∴OC＝8，

∴点C的坐标为（0，8）；

（2）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0），

∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣6），

将C（0，8）代入，得8＝12a，

解得a＝，

∴y＝（x﹣2）（x﹣6）＝x2﹣x＋8，

故抛物线的解析式为y＝x2﹣x＋8，其对称轴为直线x＝4；

（3）设正方形DEFG的边长为m，则m＞0，

∵正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上），

∴D（4﹣m，﹣m），E（4＋m，﹣m）．

将E（4＋m，﹣m）代入y＝x2﹣x＋8，

得﹣m＝×（4＋m）2﹣×（4＋m）＋8，

整理得，m2＋6m﹣16＝0，

解得m1＝2，m2＝﹣8（不合题意舍去），

∴正方形DEFG的边长为2，

∴S正方形DEFG＝22＝4．