Question

12．如图，四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△EBN≌△ABM；
（2）当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，以B为原点，BC为x轴正方向建立直角坐标系，若菱形ABCD的边长为2，求M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据△ABE是等边三角形和菱形的性质证明△EBN≌△ABM；
（2）连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，求出EC的值即可；
（3）根据题意和菱形的性质求出直线BD和直线CE的解析式，求出交点即可．

解答 （1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．
即∠MBA=∠NBE，
又∵MB=NB，
在△AMB和△ENB中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BE}\\{∠MBA=∠NBE}\\{MB=NB}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△ENB；
（2）如图1，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM=MN，
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短，
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长；
（3）解：如图2，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=∠ABF-∠ABE=120°-60°=60°．
∵菱形ABCD的边长为2，即BC=BE=$\sqrt{2}$，可求得BF=1，EF=$\sqrt{3}$，
∴C（2，0），E（-1，$\sqrt{3}$）），
求得直线CE：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
同上可求得直线BD：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x；
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
即M（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查的是菱形的性质、全等三角形的判定和一次函数的交点问题，掌握菱形的性质和三角形全等的判定定理是解题的关键，注意最小值的确定要正确．