Question

14．如图，AB是半圆O的直径，EB、EC分别与半圆O相切于点B、C，连接AC并延长，与BE的延长线交于点D．
（1）求证：EB=ED；
（2）若AC=8，cos∠D=$\frac{3}{5}$，求半圆O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据切线长定理证明EC=EB，然后根据等角对等边，证明ED=EB即可证得；
（2）首先证明∠ABC=∠D，在直角△ABC中利用三角函数的定义与勾股定理即可求解．

解答 解：（1）连接BC．
∵EB、EC分别与半圆O相切于点B、C，
∴EC=EB，
∴∠ECB=∠EBC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠DCB=90°，即∠DCE+∠ECB=90°，
∴∠D+∠DBC=90°，
∴∠D=∠DCE，
∴DE=CE，
∴EB=ED；
（2）∵∠D+∠DBC=90°，∠BDC+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠D．
∴在直角△ABC中，cos∠ABC=cos∠D=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$．
∴设BC=3x，则AB=5x，
∵直角△ABC中，AC²+BC²=AB²，即（3x）²+AC²=（5x）²，
解得x=2，
则AB=10．
则半圆O的半径是5．

点评 本题考查了切线长定理以及三角函数，正确证明ED=EC以及∠ABC=∠D是关键．