Question

5．如图，扇形AOB的半径为2$\sqrt{3}$，圆心角为120°，C是半径OA上一点，将扇形OAB沿BC折叠使点A落在点D处．若DC⊥AC，图中阴影部分的面积为4$π+3\sqrt{3}-9$．

Answer 1

分析 过点B作BE⊥AO，垂足为E，作点O关于BC的对称点O′，在Rt△OBE和Rt△CBE中，求得EB、OE的长，从而得到OC的长，最后根据S_扇DO′B-2S_△COB进行计算即可．

解答 解：如图所示，过点B作BE⊥AO，垂足为E，作点O关于BC的对称点O′．

∵∠DCA=90°，
∴∠ECO′=90°．
由翻折的性质可知：∠OAB=∠O′CB=45°．
∴CE=EB．
∵∠AOB=120°，
∴∠EOB=60°．
∴∠OBE=30°．
∴OE=$\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$．
∴$\frac{BE}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{EB}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
解得：BE=3．
∴CE=3．
∴OC=3-$\sqrt{3}$．
阴影部分的面积=S_扇DO′B-2S_△COB=$\frac{120°π×（2\sqrt{3}）^{2}}{360°}$-2×$\frac{1}{2}$×$（3-\sqrt{3}）×3$=4$π+3\sqrt{3}-9$．
故答案为：4$π+3\sqrt{3}-9$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、特殊锐角三角函数值、扇形的面积，将不规则图形面积转化为规则图形的面积进行计算是解题的关键．