Question

【题目】如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4π．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AF=CE，求线段BC的长度．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD、OE，

∵AD是⊙O的切线，

∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，

又∵弧DE的长度为4π，

∴ ，

∴n=60，

∴△ODE是等边三角形，

∴∠ODE=60°，∴∠EDA=30°，

∴∠B=∠EDA，

∴DE∥BC．

（2）解：连接FD，

∵DE∥BC，

∴∠DEF=∠C=90°，

∴FD是⊙0的直径，

由（1）得：∠EFD= ∠EOD=30°，FD=24，

∴EF=12 ，

又∵∠EDA=30°，DE=12，

∴AE=4 ，

又∵AF=CE，∴AE=CF，

∴CA=AE+EF+CF=20 ，

又∵ ，

∴BC=60．

【解析】（1）要证明DE∥BC，可证明∠EDA=∠B，由弧DE的长度为4π，可以求得∠DOE的度数，再根据切线的性质可求得∠EDA的度数，即可证明结论．（2）根据90°的圆周角对的弦是直径，可以求得EF，的长度，借用勾股定理求得AE与CF的长度，即可得到答案．