Question

已知,矩形中,,,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.
(1)如图1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；
(2)如图2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.

Answer 1

(1)证明:①∵四边形是矩形∴∥∴,
∵垂直平分,垂足为∴∴≌∴∴四边形为平行四边形
又∵∴四边形为菱形.

②设菱形的边长,则在中,
由勾股定理得,解得∴
(2)显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边
形;同理点在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在
上、点在上时,才能构成平行四边形.  ∴以、、、四点为顶点的四边
形是平行四边形时,∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间
为秒
∴,∴,解得
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.

（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；
（2）分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可.