Question

【题目】如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=2BC=4，点P为AB边中点，点E为AC边上不与端点重合的一动点，将△ADP沿着直线PD折叠得△PDE，若DE⊥AB，则AD的长度为_____ ．

Answer 1

【答案】或

【解析】

分类讨论：①当点E在直线AC上方时，设DM=x，先证明△AMD∽△ACB，得出AM=2x，勾股定理表达出AD及ME，求出AB，表达出MP，根据tan∠E==列出方程解答；②当点E在直线AC上方时，设DN=y，表达出AD，AN，以及PN，EN，根据tan∠E==列出方程解答即可．

分类讨论如下：①当点E在直线AC上方时，如图1，设DM=x．

∵∠A=∠A，∠AMD=∠C，

∴△AMD∽△ACB，∴AM：MD=AC：BC=2，

∴AM=2x，

在Rt△AMD中，AM=2x，DM=x，

∴AD==，

∴DE=AD=，

∴ME=，

在Rt△ACB中，AC=4，BC=2，

∴AB==，

∴AP=AB=，

∴MP=

∵∠E=∠A，

∴tan∠E==，即：，解得：，

∴AD==；

②当点E在直线AC上方时，如图2，设DN=y．

∵DN=y，同①可得AD=，AN=2y，

∵AP=，

∴PN=，EN=，

∵tan∠E==，

∴，解得：，∴AD==；

故答案为：或．