【题目】【探究证明】
(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究,提出下列问题,请你给出证明.
如图①,在矩形ABCD中,EF⊥GH,EF分别交AB,CD于点E,F,GH分别交AD,BC于点G,H.求证: ;
【结论应用】
(2)如图②,在满足(1)的条件下,又AM⊥BN,点M,N分别在边BC,CD上,若,则的值为 ;
【联系拓展】
(3)如图③,四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=AD=10,BC=CD=5,AM⊥DN,点M,N分别在边BC,AB上,求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3).
【解析】试题分析: (1)过点A作AP∥EF,交CD于P,过点B作BQ∥GH,交AD于Q,如图1,易证AP=EF,GH=BQ,△PDA∽△QAB,然后运用相似三角形的性质就可解决问题,
(2)只需运用(1)中的结论,就可得到,就可解决问题,
(3)过点D作平行于AB的直线,交过点A平行于BC的直线于R,交BC的延长线于S,如图3,易证四边形ABSR是矩形,由(1)中的结论可得=.设SC=x,DS=y,则AR=BS=5+x,RD=10﹣y,在Rt△CSD中根据勾股定理可得①,在Rt△ARD中根据勾股定理可得+=100②,解①②就可求出x,即可得到AR,问题得以解决.
试题解析: (1)过点A作AP∥EF,交CD于P,过点B作BQ∥GH,交AD于Q,如图1,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥DC,AD∥BC,
∴四边形AEFP,四边形BHGQ都是平行四边形,
∴AP=EF,GH=BQ,
又∵GH⊥EF,
∴AP⊥BQ,
∴∠QAT+∠AQT=90°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=∠D=90°,
∴∠DAP+∠DPA=90°,
∴∠AQT=∠DPA,
∴△PDA∽△QAB,
∴,
∴,
(2)如图2,
∵EF⊥GH,AM⊥BN,
∴由(1)中的结论可得,,
∴
故答案为: ,
(2)过点D作平行于AB的直线,交过点A平行于BC的直线于R,交BC的延长线于S,如图3,则四边形ABSR是平行四边形,
∵∠ABC=90°,
∴ABSR是矩形,
∴∠R=∠S=90°,RS=AB=10,AR=BS,
∵AM⊥DN,
∴由(1)中的结论可得,
设SC=x,DS=y,则AR=BS=5+x,RD=10﹣y,
∴在Rt△CSD中,x2+y2=25①,
在Rt△ARD中,(5+x)2+(10﹣y)2=100②,
由②﹣①得x=2y﹣5③,
解方程组得
(舍去),或,
∴AR=5+x=8,
∴.
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【题目】对平面直角坐标系中的点P(x,y),定义d=|x|+|y|,我们称d为P(x,y)的幸福指数.对于函数图象上任意一点P(x,y),若它的幸福指数d≥1恒成立,则称此函数为幸福函数,如二次函数y=x2+1就是一个幸福函数,理由如下:设P(x,y)为y=x2+1上任意一点,d=|x|+|y|=|x|+|x2+1|,∵|x|≥0,|x2+1|=x2+1≥1,∴d≥1.∴y=x2+1是一个幸福函数.
(1)若点P在反比例函数y=的图象上,且它的幸福指数d=2,请直接写出所有满足条件的P点坐标;
(2)一次函数y=﹣x+1是幸福函数吗?请判断并说明理由;
(3)若二次函数y=x2﹣(2m+1)x+m2+m(m>0)是幸福函数,试求出m的取值范围.
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【题目】数学活动——探究特殊的平行四边形.
问题情境
如图,在四边形ABCD中,AC为对角线,AB=AD,BC=DC.请你添加条件,使它们成为特殊的平行四边形.
提出问题
(1)第一小组添加的条件是“AB∥CD”,则四边形ABCD是菱形.请你证明;
(2)第二小组添加的条件是“∠B=90°,∠BCD=90°”,则四边形ABCD是正方形.请你证明.
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【题目】我们规定:相等的实数看作同一个实数.有下列六种说法:
①数轴上有无数多个表示无理数的点;
②带根号的数不一定是无理数;
③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示;
④数轴上每一个点都表示唯一一个实数;
⑤没有最大的负实数,但有最小的正实数;
⑥没有最大的正整数,但有最小的正整数.
其中说法错误的有_____(注:填写出所有错误说法的编号)
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【题目】近年,《中国诗词大会》、《朗读者》,《经典咏流传》、《国家宝藏》等文化类节目相继走红,被人们称为“清流综艺”,汇文初中文学社想了解全校学生对这四个节目的喜爱情况,随机抽取了部分学生进行调查统计,要求每名学生选出一个自己最喜爱的节目,并将调查结果给制成如下统计图(其中《中国诗词大会》,《朗读者》,《经典咏流传》,《国家宝藏》分别用A、B、C、D表示),请你解答下列问题:
(1)本次调查的学生人数是 人:
(2)请把条形统计图补充完整.
(3)在扇形统计图中,B对应的圆心角的度数是 .
(4)已知汇文初中共有5000名学生,请根据样本估计全校最喜爱《国家宝藏》的人数是多少?
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)经过点M(﹣1,2)和点N(1,﹣2),交x轴于A,B两点,交y轴于C.则:
①b=﹣2;
②该二次函数图象与y轴交于负半轴;
③存在这样一个a,使得M、A、C三点在同一条直线上;
④若a=1,则OAOB=OC2 .
以上说法正确的有( )
A. ①②③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③
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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴为直线x=1,与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(包括这两点),下列结论:
①当x>3时,y<0;②3a+b<0;③﹣1≤a≤﹣;④4ac﹣b2>8a;
其中正确的结论是( )
A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④
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【题目】某文具店准备购进A、B两种型号的书包共50个进行销售,两种书包的进价、售价如下表所示:
书包型号 | 进价(元/个) | 售价(元/个) |
A型 | 200 | 300 |
B型 | 100 | 150 |
购进这50个书包的总费用不超过7300元,且购进B型书包的个数不大于A型书包个数的.
(1)该文具店有哪几种进货方案?
(2)若该文具店购进的50个书包全部售完,则该文具店采用哪种进货方案,才能获得最大利润?最大利润是多少?(利润=售价﹣进价)
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【题目】如图,拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD,坝顶宽BC为6 m,坝高为3.2 m,为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m,并且保持坝顶宽度不变,迎水坡CD的坡度不变,但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比).求加高后的坝底HD的长为多少.
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