Question

19．四边形ABCD中，AD∥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC，E为BC的中点，F在DC上，且CF=$\frac{1}{3}$DC，连AC交EF于点G．
（1）求证：△AGE∽△CGF；
（2）若AC=10，求CG的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明AD=CE，AD∥CE，推出四边形ADCE是平行四边形即可解决问题；
（2）由AE∥CF，推出$\frac{CF}{AE}$=$\frac{CG}{AG}$，根据AE=CD，CF=$\frac{1}{3}$CD即可推出CG：AG=1：3，由此即可解决问题；

解答 （1）证明：∵BC=2AD，BE=CE，
∴AD=EC，∵AD∥EC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AE∥CD，
∴△AGE∽△CGF．

（2）解：∵AE∥CF，
∴$\frac{CF}{AE}$=$\frac{CG}{AG}$，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AE=CD，
∵CF=$\frac{1}{3}$CD，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{1}{3}$，
∵AC=10，
∴CG=$\frac{1}{4}$×10=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．