【题目】如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ(0<θ<180°)得到矩形A1BC1D1,直线BA1、C1D1分别与直线CD相交于点E、F.
(1)若此矩形绕点B顺时针方向旋转90°,求DD1的长;
(2)在旋转过程中,点D、A1、D1三点共线时,求△BCE的面积;
(3)在矩形ABCD旋转的过程中,是否存在某个位置使得以B、E、F、D1为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出CF的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)DD1=;(2)S△BEC=;(3)CF=18.
【解析】
(1)延长DC交C1D1于H,利用矩形的性质可得DH和HD1长,由勾股定理求解即可;
(2)连接BD,由HL定理可证△BDA1≌△DBC,设DE=BE=x,在Rt△BCE中,由勾股定理可知DE长,易知CE长,根据面积公式求解即可;
(3)由勾股定理可得EF长,根据tan∠CEB=tan∠EBD1的表示可得EC长,易求CF.
解:(1)如图1中,延长DC交C1D1于H.
∵四边形ABCD,四边形A1BC1D1是矩形,∴∠A=∠ADH=∠AC1H=90°,∴四边形ADHC1是矩形,∴DH=AC=8+6=14,HC1=AD=6,∠DHC1=∠DHD1=90°,∴HD1=8﹣6=2,∴DD1===.
(2)如图2中,连接BD.
∵∠DA1B=∠DCB=90°.BD=DB,BA1=DC,∴△BDA1≌△DBC(HL),∴∠DBA1=∠BDC,∴ED=EB,设DE=BE=x,
在Rt△BCE中,∵BE2=EC2+BC2,∴x2=(8﹣x)2+62,∴x=,∴EC=8﹣=,∴S△BEC=BCEC=×6×=.
(3)如图3中,存在.
∵四边形BD1FE是平行四边形,∴EF=BD1==10.
∵EC∥BD1,∴∠CEB=∠A1BD1,∴tan∠CEB=tan∠EBD1,∴,∴,∴EC=8,∴CF=EC+EF=8=10=18.
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【题目】某公司推出一款新产品,通过市场调研后,按三种颜色受欢迎的程度分别对A颜色、B颜色、C颜色的产品在成本的基础上分别加价40%,50%,60%出售(三种颜色产品的成本一样),经过一个季度的经营后,发现C颜色产品的销量占总销量的40%,三种颜色产品的总利润率为51.5%,第二个季度,公司决定对A产品进行升级,升级后A产品的成本提高了25%,其销量提高了60%,利润率为原来的两倍;B产品的销量提高到与升级后的A产品的销量一样,C产品的销量比第一季度提高了50%,则第二个季度的总利润率为_____.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,O为边AC上一点(不与点A,C重合),以OC为半径的圆分别交边BC,AC于点D,E,过点D作DF⊥AB于点F.
(1)求证:直线DF是⊙O的切线;
(2)若∠A=45°,OC=2,求劣弧的长.(结果保留π)
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【题目】为了实现伟大的强国复兴梦,全社会都在开展扫黑除恶专项斗争,某区为了解各学校老师对扫黑除恶应知应会知识的掌握情况,对甲、乙两个学校各180名老师进行了测试,从中各随机抽取30名教师的成绩(百分制),并对成绩(单位:分)进行整理、描述和分析,给出了部分成绩信息.
甲校参与测试的老师成绩在96≤x<98这一组的数据是:96,96.5,97,97.5,97,96.5,97.5,96,96.5,96.5,甲、乙两校参与测试的老师成绩的平均数、中位数、众数如下表:
学校 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
甲校 | 96.35 | m | 99 |
乙校 | 95.85 | 97.5 | 99 |
根据以上信息,回答下列问题:
(1)m=________;
(2)在此次随机抽样测试中,甲校的王老师和乙校的李老师成绩均为97分,则他们在各自学校参与测试的老师中成绩的名次相比较更靠前的是________(选填王或李)老师,请写出理由;
(3)在此次随机测试中,乙校96分以上(含96分)的总人数比甲校96分以上(含96分)的总人数的2倍少100人,试估计乙校96分以上(含96分)的总人数.
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【题目】如图,AB为半圆O的直径,直线CE与半圆O相切于点C,点D是的中点,CB=6,四边形ABCD的面积为AC,则圆心O到直线CE的距离是____.
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【题目】如图,是的直径,且,点均在上,的延长线交的延长线于点,过点作的切线交于点,连接,,,.
(1)求证:.
(2)填空:
①当__________,是等腰直角三角形;
②当__________,四边形是平行四边形.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为1,对角线AC、BD交于点O,E是BC延长线上一点,且AC=EC,连接AE交BD于点P.
(1)求∠DAE的度数;
(2)求BP的长.
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【题目】如图,正方形纸片ABCD边长为6,点E,F分别是AB,CD的中点,点G,H分别在AD,AB上,将纸片沿直线GH对折,当顶点A与线段EF的三等分点重合时,AH的长为_____.
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