Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，O为边AC上一点（不与点A，C重合），以OC为半径的圆分别交边BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AB于点F.

（1）求证：直线DF是⊙O的切线；

（2）若∠A＝45°，OC＝2，求劣弧的长.（结果保留π）

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）连结OD，根据等边对等角可得∠B＝∠ACB，∠ODC＝∠ACB，等量代换可得∠B＝∠ODC，根据同位角相等，两直线平行可得OD∥AB，继而可得∠ODF＝∠BFD＝90°，由切线的判定即可求证；

（2）由两直线平行同位角相等可得：∠A＝∠COD＝45°，由平角性质可得：∠AOD＝135°,根据弧长公式即可求解．

（1）证明：连结OD，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∵OC＝OD，

∴∠ODC＝∠ACB，

∴∠B＝∠ODC，

∴OD∥AB，

∵DF⊥AB，

∴∠ODF＝∠BFD＝90°，

∵OD为半径，

∴直线DF是⊙O的切线；

（2）解：∵∠A＝45°，OD∥AB，

∴∠COD＝∠A＝45°

∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°，

∴的长为.