Question

14．在正方形ABCD中，点P是射线BD上一个动点，（与B，D不重合），连接AP，CP，过点P作AP的垂线，交射线CD于点E．
（1）如图①，当BP＜$\frac{1}{2}$BD时，求证：PC=PE；
（2）如图②，当$\frac{1}{2}$BD＜BP＜BD时，判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）当BP＞BD时，请在图③中画出图形，并直接判断（1）中的结论是否成立？（直接回答即可，不必证明）；
（4）如图④，将“正方形ABCD”变为“菱形ABCD”，且∠ABC=α（0°＜α＜90°），其余条件不变，试探究：当∠APE满足什么条件时，（1）中结论仍然成立？（直接回答即可，不比证明）

Answer 1

分析 （1）先证明三角△ADP≌△CDP，∠PAD=∠PCD，由∠PAD+∠PED=180°，∠PED+∠PEC=180°，故此∠PAD=∠PEC，从而得到∠PCE=∠PEC，故此PE=PC；
（2）如图②所示：先证明三角△ADP≌△CDP，∠PAD=∠PCD，由∠APE=∠ADE，∠AFP=∠DFE，可知∠FAP=∠FED，于是∠PEC=∠PCE，故此PE=PC；
（3）如图③所示：先证明三角△ADP≌△CDP，∠PAD=∠PCD，由∠APE=∠ADE，∠AFD=∠PFE，可知∠FAD=∠FEP，于是∠PEC=∠PCE，故此PE=PC；
（4）如图④所示：先证明三角△ADP≌△CDP，∠PAD=∠PCD，当∠APE=180°-α时，∠PAD+∠PED=180°，有∠PEC+∠PED=180°可知∠PEC=∠PAD，故此∠PEC=∠PCE，从而可证明PE=PC．

解答 解：（1）如图①所示：

∵ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADP=∠CDP=45°．
在△ADP和△CDP中$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADP=∠CDP}\\{PD=PD}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CDP．
∴∠PAD=∠PCD．
∵∠APE=∠ADE=90°，∠AFP=∠DFE，
∴∠FAP=∠FED．
∴∠PEC=∠PCE．
∴PE=PC．
（2）如图②所示：

由（1）可知：∠PAD=∠PCD，
∵∠APE=∠ADE=90°，∠AFP=∠DFE，
∴∠FAP=∠FED．
∴∠PEC=∠PCE．
∴PE=PC．
（3）如图③所示：

∵ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠ADP=∠CDP=45°．
∴∠ADP=∠CDP．
在△APD和△CPD中$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADP=∠CDP}\\{PD=PD}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CPD．
∴∠PAD=∠PCD．
∵∠APE=∠ADE，∠AFD=∠PFE，
∴∠FAD=∠FEP．
∴∠PEC=∠PCE．
∴PE=PC．
（4）当∠APE=180°-α（1）仍然成立．
理由：如图④所示：

∵ABCD为菱形，
∴AD=DC，∠ADP=∠CDP．
在△ADP和△CDP中$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADP=∠CDP}\\{PD=PD}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CDP．
∴∠PAD=∠PCD．
∵∠APE=180°-α，
∴∠APE+∠ADE=180°．
∴∠PAD+∠PED=180°．
又∵∠PEC+∠PED=180°，
∴∠PEC=∠PAD．
∴∠PEC=∠PCE．
∴PE=PC．

点评 本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理、四边形的内角和定理、等腰三角形的判定，熟练掌握相关性质是解题的关键．