Question

【题目】如图，四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．

（操作）（1）将△ABD绕点D沿顺时针方向旋转60°，在图中画出旋转后的三角形．

（探究）（2）结合所画图形探究BD与AB，BC之间的数量关系，并证明你的结论．

（应用）（3）若AB=6，BC=8，试求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BD2=AB2+BC2，见解析；（3）

【解析】

（1）分别利用旋转的旋转画出A，B旋转后的对应点，而D为旋转中心与自身对应，然后顺次连接三对应点得到答案．

（2）连接BE，利用旋转的旋转证明△DBE是等边三角形，再证明为直角三角形，利用等量代换可以得到答案．

（3）利用（2）的结论求BD，再求等边三角形DBE的面积，直角三角形BEC的面积，利用图形旋转前后面积不变，把四边形的面积转化为等边三角形DBE的面积减去直角三角形BEC的面积即可．

（1）如图，利用旋转性质作 ，然后在角的边上截取，得A的对应点C，B的对应点E，顺次连接D，C，E得到旋转后的．

【探究】

（2）BD与AB，BC数量关系：BD2=AB2+BC2

理由：连接BE

由旋转可知

∠DCE=∠A,CE=AB

DE=DB，∠BDE=60°，

∴△DBE是等边三角形

∴BE=DB

∵∠ADC+∠ABC=60°+30°=90°

∴∠A +∠DCB=360°-90°=270°

∠DCE +∠DCB=270°

∴∠ECB=90°

∴BC2+CE2=BE2

∴BD2=AB2+BC2

【应用】

（3）因为BD2=AB2+BC2　　AB=6，BC=8

所以BD=10，又△DBE是等边三角形

所以，

因为∠ECB=90°

所以△BCE的面积为24，

由旋转可知:

S四边形ABCD= S△DBE- S△BCE

=