Question

1．如图，抛物线y=-x²+mx+n与x轴分别交于点A（4.0），B（-2.0）．与y轴交于点C
（I）求该抛物线的解析式：
（2）在抛物线的对称轴上是存在这样的点P．使得△PAC为直角三角形？若存在．请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法将A（4，0）和B（-2，0）代入y=-x²+mx+n，求出即可；
（2）分三种情况：①当∠ACP=90°时；②当∠CAP=90°时；③当∠APC=90°时；讨论求解．

解答 解：（1）∵y=-x²+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-16+4m+n=0}\\{-4-2m+n=0}\end{array}\right.$，
 解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=8}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+8．

（2）∵抛物线的对称轴为x=1，且点C（0，8），
∴设点P（1，m），
则PA²=9+m²，PC²=1+（8-m）²，AC²=16+64=80，
①当∠PCA=90°时，PC²+AC²=PA²，即1+（8-m）²+80=9+m²，
解得：m=8.5，
∴点P的坐标为（1，8.5）；
②∠PAC=90°时，PA²+AC²=PC²，即9+m²+80=1+（8-m）²，
解得：m=-1.5，
∴点P的坐标为（1，-1.5）；
③当∠APC=90°时，PA²+PC²=AC²，即9+m²+1+（8-m）²=80，
解得：m=4$±\sqrt{19}$，
∴点P的坐标为（1，4+$\sqrt{19}$）或（1，4-$\sqrt{19}$）．

点评 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、两点间的距离公式\勾股定理逆定理等，二次函数这部分经常利用数形结合以及分类讨论思想相结合，综合性较强注意不要漏解．