Question

11．已知函数y=mx²+（2m+1）x+2（m为实数）．
（1）请探究该函数图象与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；
（2）在图中给出的平面直角坐标系中分别画出m=-1和m=1的函数图象，并根据图象直接写出它们的交点坐标；
（3）探究：对任意实数m，函数的图象是否一定过（2）中的点，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）分m=0和m≠0两种情况讨论；
（2）m=-1时y=-x²-x+2、m=1时y=x²+3x+2，画出函数图象，根据函数图象得出交点；
（3）在y=mx²+（2m+1）x+2=（x+2）（mx+1）中，可知无论m为何值，x=0时y=2、x=-2时y=0，即可得．

解答 解：（1）当m=0时，y=x+2，此直线与x轴交于（-2，0）；
当m≠0时，△=（2m+1）²-8m=（2m-1）²≥0，
∴此抛物线在m=$\frac{1}{2}$时，与x轴只有一个公共点；在m≠$\frac{1}{2}$时，与x轴有2个交点；

（2）当m=-1时，抛物线解析式为y=-x²-x+2，
当m=1时，抛物线解析式为y=x²+3x+2，
函数图象如下：

由函数图象知，两抛物线的交点为（-2，0）和（0，2）；

（3）对任意实数m，函数的图象一定过（-2，0）和（0，2），理由如下：
在函数y=mx²+（2m+1）x+2中，
无论m为何值，当x=0时，y的值均为2，即横过点（0，2），
∵y=mx²+（2m+1）x+2=（x+2）（mx+1），
∴当x=-2时，y的值均为0，即函数图象横过（-2，0），
故无论m为何值，函数的图象（-2，0）和（0，2）两点．

点评 本题主要考查抛物线与x轴的交点，熟练掌握抛物线与x轴交点情况取决于△的值及函数图象的画法、分类讨论思想的运用是解题的关键．