Question

10．如图所示，直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}$与x、y轴分别交于A、B，与反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k＞0）的图象交于点C，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E．
（1）求∠BAO的度数；
（2）若AE=AC，求k的值．

Answer 1

分析 （1）求出点A、B的坐标，从而求出OA、OB的长度，求出tan∠BAO的值即可求出该角的度数．
（2）由题意可知：A与E的横坐标是相同的，过点C作CF⊥x轴于点F，由（1）可知∠CAF=30°，可利用k表示点C的坐标，然后将C的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．

解答 解：（1）令x=0代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，
∴y=-$\sqrt{3}$，
∴B（0，-$\sqrt{3}$），
令y=0代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，
∴x=3，
∴A（3，0）
∴OA=3，OB=$\sqrt{3}$，
∴tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAO=30°，

（2）由题意可知：A与E的横坐标是相同的，
∴把x=3代入y=$\frac{k}{x}$，
∴y=$\frac{k}{3}$，
∴AE=$\frac{k}{3}$，
∴AC=AE=$\frac{k}{3}$，
∵∠CAF=∠BAO=30°，
过点C作CF⊥x轴于点F，
∴CF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{k}{6}$，
∴由勾股定理可知：AF=$\frac{\sqrt{3}k}{6}$，
∴OF=OA+AF=3+$\frac{\sqrt{3}k}{6}$
∴C（3+$\frac{\sqrt{3}k}{6}$，$\frac{k}{6}$），
把C（3+$\frac{\sqrt{3}k}{6}$，$\frac{k}{6}$）代入y=$\frac{k}{x}$，
∴（3+$\frac{\sqrt{3}}{6}$k）$\frac{k}{6}$=k，
解得：k=6$\sqrt{3}$，

点评 本题考查反比例函数和一次函数的综合问题，解题的关键是求出点A、B、C的坐标，本题属于中等题型．