Question

如图，已知⊙O的半径为3，AB为弦，CD是直径，AB⊥CD于点H，点P在DC的延长线上，且∠PAH=∠POA，OH：HC=1：2．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）在

ACB

上任取一点E，连接PE并延长与

ADB

交于点F，设EH=x，PF=y，求y与x的函数关系式．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）利用垂线的定义及三角形的内角和定理，结合切线的判定定理问题即可解决．
（2）连接OF，运用射影定理及切割线定理证明△PEH∽△POF，问题即可解决．

解答：解：（1）∵AB⊥CD，且∠PAH=∠POA，
∴∠PAH+∠APO=∠POA+∠APH=90°，
∴∠OAP=90°，
故PA是⊙O的切线．
（2）如图，连接OF；
∵OC=3，OH：HC=1；2，
∴OH=1；
∵∠PAO=90°，AH⊥PO，
∴OA²=OH•OP（身影定理），
∴3²=1×OP，OP=9；
∴PH=PO-OH=8；
∵OA⊥PA，AH⊥OP，且PA是⊙O的切线，
∴PA²=PH•PO（射影定理），PA²=PE•PF（切割线定理），
∴PH•PO=PE•PF，
∴

PH

PF

=

PE

PO

，而∠EPH=∠OPF，
∴△PEH∽△POF，
∴

PH

PF

=

EH

OF

，即

8

y

=

x

3

，
∴y=

24

x

，
即y与x的函数关系式y=

24

x

．

点评：本题以圆为载体，在考查射影定理、切割线定理的同时，还渗透了对相似三角形的判定及其性质应用的考查；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．