Question

11．定义：如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”，这条中线为“匀称中线”．
（1）请根据定义判断下列命题的真假（请在真命题后的横线内打“√”，假命题后的横线内打“╳”）
①等腰直角三角形一定不存在匀称中线．√．
②如果直角三角形是匀称三角形，那么匀称中线一定是较长直角边上的中线．√．
（2）已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，若△ABC是“匀称三角形”，求BC：AC：AB的值；
（3）拓展应用：
如图2，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＞AC，∠BAC=45°，将△ABC 绕点A逆时针旋转45°得△ADE，点B的对应点为D，连接CD交⊙O于M，连接AM．
①请根据题意用实线在图2中补全图形；
②若△ADC是“匀称三角形”，求tan∠AMC的值．

Answer 1

分析 （1）根据“匀称中线”的定义判断即可；
（2）由匀称三角形的定义和（1）的结论可知，匀称中线是AC边上的中线，设AC=2a，则CD=a，BD=2a，由勾股定理得BC=$\sqrt{3}$a，AB=$\sqrt{7}$a，得出结论；
（3）①根据图形旋转的性质知，将△ABC 绕点A逆时针旋转45°，即将AC，AB绕点A逆时针各旋转45°得△ADE，可得图2；
②根据图形旋转的性质知，∠DAE=∠BAC=45°，AD=AB，∠DAC=90°，△ADC是匀称三角形，由（2）的结论知，AD：AC=$2：\sqrt{3}$，AB：AC=$2：\sqrt{3}$，设AC=$\sqrt{3}$k
由等腰直角三角形的性质知，AH=CH=$\sqrt{3}$k•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$k，数形结合得BH，得tan∠B，由圆周角定理得∠AMC=∠B，得tan∠AMC．

解答 解：（1）根据“匀称中线”，的定义判断，
①√，②√，
故答案为：√，√．

（2）如图1，∵∠C=90°，AC＞BC
由（1）可知△ABC的匀称中线是AC边上的中线，设D为AC中点，则BD为匀称中线，
设AC=2a，则CD=a，BD=2a，
∵∠C=90°，
∴BC=$\sqrt{3}$a，
∴AB=$\sqrt{{（2a）}^{2}{+（\sqrt{3}a）}^{2}}$=$\sqrt{7}$a，
∴BC：AC：AB=$\sqrt{3}$：2：$\sqrt{7}$；

（3）①如图2；      
②如图3，∵△ABC绕点A逆时针旋转45°得△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=45°，AD=AB，
∴∠DAC=90°，AD＞AC，
∵△ADC是匀称三角形，
∴AD：AC=$2：\sqrt{3}$，即AB：AC=$2：\sqrt{3}$，
过点C作CH⊥AB于H，则∠AHC=∠BHC=90°，
设AC=$\sqrt{3}$k，则AH=CH=$\sqrt{3}$k•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$k，
∴BH=2k-$\frac{\sqrt{6}}{2}k$=$\frac{4-\sqrt{6}}{2}$k，
∴tan∠B=$\frac{CH}{BH}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}k}{\frac{4-\sqrt{6}}{2}k}$=$\frac{\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}$=$\frac{3+2\sqrt{6}}{5}$，
在⊙O中，由∠AMC=∠B得tan∠AMC=$\frac{3+2\sqrt{6}}{5}$．

点评 本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，匀称三角形的定义等，数形结合，掌握旋转的性质，理解匀称三角形的定义是解答此题的关键．