Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D．
①求证：AD是∠BAC的平分线；
②求∠ADC的度数；
③求证：点D在AB的中垂线上；
④求证：S_△DAC：S_△ABC=1：3．

Answer 1

考点：作图—基本作图,角平分线的性质,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；
②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，
根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；
③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；
④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=

1

2

AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．

解答：①证明：连接NP，MP，
在△ANP与△AMP中，
∵

AN=AM NP=MP AP=AP

，
∴△ANP≌△AMP；

②证明：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=

1

2

∠CAB=30°，
∴∠3=90°-∠2=60°，∠ADC=60°；

③证明：∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上；

④证明：∵在Rt△ACD中，∠2=30°，
∴CD=

1

2

AD，
∴BC=BD+CD=AD+

1

2

AD=

3

2

AD，S_△DAC=

1

2

AC•CD=

1

4

AC•AD，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AC•

3

2

AD=

3

4

AC•AD，
∴S_△DAC：S_△ABC=1：3．

点评：本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．