Question

【题目】已知：如图，AD∥BC，AB=CD，对角线CA平分∠BCD，AD=5，tanB= ，求BC的长．

Answer 1

【答案】13

【解析】分析：作梯形的两条高，构造了一个矩形和两个直角三角形．根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰，即再根据锐角三角函数的概念得到结合勾股定理得到从而求得BE的长，再进一步计算出和的长．

详解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F，如下图所示，

∵AC平分∠BCD，

∴∠1=∠2.

∵AD∥BC，

∴∠2=∠3.

∴∠1=∠3.

∴AD=DC.∵AD=5，AB=DC，

∴AD=DC=AB=5.

过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F.

∴

在Rt△AEB中，

设AE=3x，则BE=4x.

∵AB=5，

∴

∴x=1(负值舍去).

∴AE=3，BE=4.同理可得FC=4.

∵AE⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF.

∵AD∥BC，

∴四边形AEFD是平行四边形。

∴EF=AD=5.

∴BC=13.