Question

7．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120度．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN．
（1）求证：MN=BM+NC；
（2）求△AMN的周长为多少？

Answer 1

分析 （1）延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，
（2）△AMN的周长等于AB+AC的长．

解答 解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠DBC=30°，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，
∴∠DBA=∠DCA=90°，
延长AB至F，使BF=CN，连接DF，
在△BDF和△CND中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=CN}\\{∠FBD=∠DCN}\\{DB=DC}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CND（SAS），
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，
∵∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠CDN=60°，
∴∠BDM+∠BDF=60°，
在△DMN和△DMF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DM=MD}\\{∠FDM=∠MDN}\\{DF=DN}\end{array}\right.$，
∴△DMN≌△DMF（SAS）
∴MN=MF=MB+BF=MB+CN；

（2）由（1）证得MN=MB+CN，
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+CN+AN=AB+AC=6．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．