Question

【题目】（满分10分）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC，BC．

（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AD=2，AC=，求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）相切；（2）3．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，由C为的中点，得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠ACO，根据平行线的性质得到OC⊥CD，即可得到结论；

（2）连接CE，由勾股定理得到CD的长，根据切割线定理得到=ADDE，根据勾股定理得到CE的长，由圆周角定理得到∠ACB=90°，即可得到结论．

试题解析：（1）相切，连接OC，∵C为的中点，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠ACO，∴∠2=∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∴直线CD与⊙O相切；

（2）方法1：连接CE，∵AD=2，AC=，∵∠ADC=90°，∴CD==，∵CD是⊙O的切线，∴=ADDE，∴DE=1，∴CE==，∵C为的中点，∴BC=CE=，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==3．

方法2：∵∠DCA=∠B，易得△ADC∽△ACB，∴，∴AB=3．