Question

2．如图，边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D，E的坐标分别为（0，3），（-2，0），连接PD，PE，DE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置发现：PD与PF的差是定值，请直接写出PD-PF=1；并证明当点P在抛物线上A，C间运动时（不包括端点），结论仍然成立．
（3）当点P运动到什么位置时，△PDE的周长最小？写出此时P点的坐标，并求出△PDE周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知A、C两点的坐标分别为（-4，0）、（0，4），设抛物线的解析式为y=ax²+4，将点A的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）过点P作PM⊥y轴于点M．设点P的坐标为P（x，-$\frac{1}{4}$x²+4），从而可求得PF=$\frac{1}{4}$x²，由PM⊥y轴可知点M的坐标为（0，$-\frac{1}{4}$x²+4），从而可知PM=|x|．DM=（$\frac{1}{4}{x}^{2}-1$）²，由勾股定理可求得PD=$\frac{1}{4}{x}^{2}+1$，从而可求得PD-PF=1；
（3）在△DEO中，由勾股定理可求得DE=$\sqrt{13}$，由题意可知当PE+PD有最小时，△PDE的周长最小，由PD-PF=1可知PE+PD=PE+PF+1，故此当P，E，F三点共线时，PE+PF最小，从而得到点P的横坐标为-2，然后将x=-2代入抛物线的解析式，从而可求得点P的坐标，从而可求得△PED的周长最小值为5+$\sqrt{13}$．

解答 解：（1）∵正方形的边长为4，
∴点A的坐标为（-4，0），点C的坐标为（0，4）．
设抛物线的解析式为y=ax²+4，将点A的坐标代入得：16a+4=0．
解得：a=$-\frac{1}{4}$．
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+4．
（2）PD-PF=1．
理由：如图1所示：过点P作PM⊥y轴于点M．

设P（x，-$\frac{1}{4}$x²+4），则PF=4-（-$\frac{1}{4}$x²+4）=$\frac{1}{4}$x²．  
在Rt△PDM中，由勾股定理可知：PD²=PM²+DM²=（-x）²+[3-（-$\frac{1}{4}$x²+4）]²=$\frac{1}{16}{x}^{4}$+$\frac{1}{2}{x}^{2}$+1=$（\frac{1}{4}{x}^{2}+1）^{2}$，
∴PD=$\frac{1}{4}$x²+1．
∴PD-PF=$\frac{1}{4}{x}^{2}+1-\frac{1}{4}{x}^{2}$=1．
∴结论仍然成立．
故答案为：1．
（3）在△DEO中，由勾股定理可知：DE=$\sqrt{E{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
∵在点P运动时，DE大小不变，
∴PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小．
∵PD-PF=1，
∴PD=PF+1．
∴PE+PD=PE+PF+1．
∴当P，E，F三点共线时，PE+PF最小．
此时点P，E的横坐标都为-2．
将x=-2代入y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+4，得y=3．
∴P（-2，3）．
∴△PDE的周长最小值=PE+PF+1+ED=5+$\sqrt{13}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求抛物线的解析式、勾股定理、线段的性质，由PD=PF+1得到当P，E，F三点共线时，PE+PF最小是解题的关键．