Question

17．已知一次函数y=x+4的图象与二次函数y=ax（x-2）的图象相交于A（-1，b）和B，点P是线段AB上的动点（不与A、B重合），过点P作PC⊥x轴，与二次函数y=ax（x-2）的图象交于点C．
（1）求a、b的值
（2）求线段PC长的最大值；
（3）若△PAC为直角三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得b，根据待定系数法，可得a；
（2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据勾股定理，可得AP，CP的长，根据勾股定理的逆定理，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

解答 解：（1）∵A（-1，b）在直线y=x+4上，
∴b=-1+4=3，
∴A（-1，3）．
又∵A（-1，3）在抛物线y=ax（x-2）上，
∴3=-a•（-1-2），
解得：a=1．
（2）设P（m，m+4），则C（m，m²-2m）．
∴PC=（m+4）-（m²-2m）
=-m²+3m+4
=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∵（m-$\frac{3}{2}$）²≥0，
∴-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$≤$\frac{25}{4}$．
∴当m=$\frac{3}{2}$时，PC有最大值，最大值为$\frac{25}{4}$．
（3）如图，
P（m，m+4），C（m，m²-2m），
AP²=（m+1）²+（m+4-3）²=2（m+1）²，AC²=（m+1）²+（m²-2m-3）²，PC²=（-m²+3m+4）²．
①当AP²+AC²=PC²时，即2（m+1）²+（m+1）²+（m²-2m-3）²=（-m²+3m+4）²，
3（m+1）²+[（m²-2m-3）²-（-m²+3m+4）²]=0
化简，得（m+1）（m+1）（m-2）=0，
解得m=-1（不符合题意，舍），m=2，
当m=2时，m+4=6，即P（2，6）；
②当AP²=AC²+PC²时，即2（m+1）²=（m+1）²+（m²-2m-3）²+（-m²+3m+4）²，
化简，得
（m-4）（m+1）（m+1）（m-3）=0．
解得m=4（不符合题意，舍），m=-1（不符合题意，舍），m=3，
当m=3时，m+4=7，
即（3，7），
综上所述：若△PAC为直角三角形，点P的坐标为P₁（2，6），P₂（3，7）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于y轴的直线上两点间的距离得出二次函数是解题关键；利用勾股定理的逆定理得出关于m的方程式解题关键，要分类讨论，以防遗漏．