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【题目】已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点BC重合).以AD为边做正方形ADEF,连接CF

1)如图1,当点D在线段BC上时.求证CF+CD=BC

2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CFBCCD三条线段之间的关系;

3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点AF分别在直线BC的两侧,其他条件不变;

①请直接写出CFBCCD三条线段之间的关系;

②若正方形ADEF的边长为,对角线AEDF相交于点O,连接OC.求OC的长度.

【答案】1)证明见解析;(2CFCD=BC;(3)①CDCF=BC;②2

【解析】

1)三角形ABC是等腰直角三角形,利用SAS即可证明△BAD≌△CAF,从而证得CF=BD,据此即可证得.

2)同(1)相同,利用SAS即可证得△BAD≌△CAF,从而证得BD=CF,即可得到CFCD=BC

3)①同(1)相同,利用SAS即可证得△BAD≌△CAF,从而证得BD=CF,即可得到CDCB=CF

②证明△BAD≌△CAF,△FCD是直角三角形,然后根据正方形的性质即可求得DF的长,则OC即可求得.

解:(1)∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,∴∠ACB=ABC=45°.∴AB=AC

∵四边形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°

∵∠BAD=90°﹣∠DAC,∠CAF=90°﹣∠DAC,∴∠BAD=CAF

∵在△BAD和△CAF中,AB=AC,∠BAD=CAFAD=AF

∴△BAD≌△CAFSAS).∴BD=CF

BD+CD=BC,∴CF+CD=BC

2CF-CD=BC
理由:∵∠BAC=90°,∠ABC=45°
∴∠ACB=ABC=45°
AB=AC
∵四边形ADEF是正方形,
AD=AF,∠DAF=90°
∵∠BAD=90°-DAC,∠CAF=90°-DAC
∴∠BAD=CAF
∵在△BAD和△CAF中,
∴△BAD≌△CAFSAS
BD=CF
BC+CD=CF
CF-CD=BC
3)①∵∠BAC=90°,∠ABC=45°
∴∠ACB=ABC=45°
AB=AC
∵四边形ADEF是正方形,
AD=AF,∠DAF=90°
∵∠BAD=90°-BAF,∠CAF=90°-BAF
∴∠BAD=CAF
∵在△BAD和△CAF中,
∴△BAD≌△CAFSAS),
BD=CF
CD-BC=CF

②∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,∴∠ACB=ABC=45°.∴AB=AC

∵四边形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°

∵∠BAD=90°﹣∠BAF,∠CAF=90°﹣∠BAF,∴∠BAD=CAF

∵在△BAD和△CAF中,AB=AC,∠BAD=CAFAD=AF

∴△BAD≌△CAFSAS).∴∠ACF=ABD

∵∠ABC=45°,∴∠ABD=135°.∴∠ACF=ABD=135°.∴∠FCD=90°

∴△FCD是直角三角形.

∵正方形ADEF的边长为且对角线AEDF相交于点O

DF=AD=4ODF中点.

OC=DF=2

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分数段

频数

频率

50.560.5

16

0.08

60.570.5

40

0.2

70.580.5

50

0.25

80.590.5

m

0.35

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24

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