Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，B（3，0），△AOB是等边三角形，动点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BO匀速运动，动点Q同时从点A出发以同样的速度沿OA延长线方向匀速运动，当点P到达点O时，点P，Q同时停止运动．过点P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．设运动时间为t秒，得出下面三个结论，① 当t =1时，△OPQ为直角三角形；② 当t =2时，以AQ，AE为边的平行四边形的第四个顶点在∠AOB的平分线上；③ 当t为任意值时，．所有正确结论的序号是________．

Answer 1

【答案】①③

【解析】

由题意根据等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定和性质进行综合分析判断即可.

解：①如图1中，取OQ的中点H，连接PH．

∵t=1，

∴AQ=PB=1，

∵B（3，0），

∴OB=3，

∵△AOB是等边三角形，

∴OA=OB=AB=3，

∴OQ=4，

∵，

∴OH=OP=2，

∵∠HOP=60°，

∴△HOP是等边三角形，

∴PH=OH=HQ，

∴，

∴△OPQ是直角三角形．故①正确，

②当t=2时，如图2中，

由题意PB=AQ=2，

∵PE⊥AB，

∴∠PEB=90°，

∵∠PBE=60°，

∴，

∴AE=AB-BE=3-1=2，

∴AE=AQ=2，

∵四边形AEMQ是平行四边形，AQ=AE，

∴四边形AEMQ是菱形，

∵∠QAE=120°，

∴∠MAE=∠MAQ=60°，

∴△MAE是等边三角形，

∴MA=ME＜BM，

∴点M不在AB的垂直平分线上，

∴点M不在∠AOB的角平分线上，故②错误，

③如图3中，作PM∥OA交AB于M．

∵PM∥OA，

∴∠BMP=∠BAO=60°，∠BPM=∠AOB=60°，

∴△PMB是等边三角形，

∴PB=PM=AQ，

∵PE⊥BM，

∴EM=BM，

∵∠AQD=∠MPD，∠ADQ=∠MQP，AQ=PM，

∴△ADQ≌△MDP（AAS），

∴AD=DM，

∴，故③正确.

故答案为：①③．