Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，橫、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y＝ax与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W．

（1）求抛物线顶点坐标（用含a的式子表示）；

（2）当a＝时，写出区域W内的所有整点坐标；

（3）若区域W内有3个整点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（1，﹣a﹣1）；（2）（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，﹣1）；（3）区域W内有3个整点，a的取值范围为：a＝或﹣≤a＜﹣1

【解析】

（1）将抛物线化成顶点式表达式即可求解；

（2）概略画出直线y＝x和抛物线y＝x2﹣x﹣1的图象，通过观察图象即可求解；

（3）分a＞0、a＜0两种情况，结合（2）的结论，逐次探究即可求解．

解：（1）y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，

故顶点的坐标为：（1，﹣a﹣1）；

（2）a＝时，概略画出直线y＝x和抛物线y＝x2﹣x﹣1的图象如下：

从图中看，W区域整点为如图所示4个黑点的位置，

其坐标为：（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，﹣1）；

（3）①当a＞0时，

由（2）知，当a＝时，区域W内的所有整点数有4个；

参考（2）可得：当a＞时，区域W内的所有整点数多于3个；

当a时，区域W内的所有整点数有4个；

同理当a＝时，区域W内的所有整点数有3个；

当0＜a＜时，区域W内的所有整点数多于3个；

②当a＜0时，

当﹣1≤a＜0时，区域W内的所有整点数为0个；

当a＜﹣时，区域W内的所有整点数多于3个；

∴区域W内有3个整点时，a的取值范围为：﹣≤a＜﹣1，

综上，区域W内有3个整点，a的取值范围为：a＝或﹣≤a＜﹣1．