Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与y轴交于点A，与抛物线的对称轴交于点B，将点A向右平移5个单位得到点C，连接AB，AC得到的折线段记为图形G．

（1）求出抛物线的对称轴和点C坐标；

（2）①当时，直接写出抛物线与图形G的公共点个数．

②如果抛物线与图形G有且只有一个公共点，求出a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）对称轴，C（5，3）；（2）①3个；②或或

【解析】

（1）根据抛物线的对称轴x＝求解即可解决问题，再利用平移的性质求出点C的坐标即可．

（2）①画出图形即可解决问题．

②分两种情形：a＜0或a＞0分别求解即可解决问题．

解：（1）∵抛物线，

∴对称轴．

∵直线与y轴交于点A，

∴ A（0，3）．

∵将点A向右平移5个单位得到点C，

∴ C（5，3）．

（2）①如图1中，观察图象可知，抛物线与图象G的交点有3个．

②由（1）得，抛物线的顶点为．

当时，由①得，时，抛物线过点A，B，

∴ 当时，抛物线与图形G有且只有一个公共点．

当抛物线顶点在AC上时， 如图，也满足条件，

∴，

．

当时，如图，抛物线经过点C时，满足条件，

∴，．

综上所述，当时，抛物线与图形G有且只有一个公共点．