Question

【题目】已知，点在射线上，点是射线上的一个动点（不与点重合）．点关于的对称点为点，连接、和，点在直线上，且满足．小明在探究图形运动的过程中发现：始终成立．

（1）如图1，当时；

①求证：；

②用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明；

（2）当时，直接用等式表示线段、与之间的数量关系是______．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②；证明见解析；（2）

【解析】

（1）①根据轴对称的性质得到△ABC≌△ADC，求得∠ABC=∠ADC，∠ACB=∠ACD=45°，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和即可得到结论；

②过A作AP⊥AC交CB的延长线于P，求得△APC是等腰直角三角形，∠PAC=90°，AP=AC，得到∠PAF=∠DAC，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；

（2）如图2，过A作AP⊥AC交CB的延长线于P，求得△APC是等腰直角三角形，∠PAC=90°，AP=AC，得到∠PAF=∠DAC，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．

（1）①∵点关于的对称点为点

∴

∴，

∴

∵

∴

∴

∵

∴

在四边形中，

∴

②

解：过点作边的垂线交延长线于点

∴是等腰直角三角形，，

∵

∴

∵

∴

∴

在等腰中，

∴

（2）

当90°＜∠BAC＜135°时，如图2，

过A作AP⊥AC交CB的延长线于P，

∴△APC是等腰直角三角形，∠PAC=90°，AP=AC，

∵∠PAF-∠FAC=∠DAC-∠FAC=90°，

∴∠PAF=∠DAC，

∵∠AFB=∠ADC，

∴△APF≌△ACD（ASA），

∴PF=CD，

∵在等腰直角三角形APC中，PF-CF=PC=AC，

∴CD-CF=AC，

故答案为：CD-CF=AC．