【题目】问题探究
(1)请在图①的的边上求作一点,使最短;
(2)如图②,点为内部一点,且满足.求证:点到点、、的距离之和最短,即最短;
问题解决
(3)如图③,某高校有一块边长为400米的正方形草坪,现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在点处,使点到、、三点的距离之和最小,那么是否存在符合条件的点?若存在,请作出点的位置,并求出这个最短距离;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)证明见解析;(3)存在,作图见解析;点到三点的距离之和最小值为米.
【解析】
(1)根据垂线段最短、利用尺规作图作出点P;
(2)将绕点逆时针旋转,得到,将绕点逆时针旋转,得到,连接,,,根据作图可知和均为等边三角形,连接,根据两点之间线段最短可知,当时,短,
(3)以BC为边作正△BCD,使点D与点A在BC两侧,作△BCD的外接圆,连接AD交圆于P,连接PB,作DE⊥AC交AC的延长线于E,根据勾股定理、直角三角形的性质计算,得到答案.
解:(1)如图①,过点作的垂线,
垂足为,点记为所求;
(2)如图②,将绕点逆时针旋转,得到,
将绕点逆时针旋转,得到,
连接,,,
根据作图可知和均为等边三角形,
∴,,
,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
连接,根据两点之间线段最短可知,
当时,
最短,
∵,
∴,
又∵为等边三角形,
∴四点共线,
∴,
∴当时,最短;
(3)存在符合条件的点.
如解图③,以为作等边,在作的外接圆,
连接,交于点,
此时最小,
在上截取.
∵在等边中,
∴(同弧所对的圆周角相等)
∴为等边三角形,
∴.
∴.
∴.
又∵,,
∴,
∴,
∴最小.
理由如下:
设点为正方形内任意一点,
连接,、,
将绕点顺时针旋转得到.
∵,
∴为的最短距离.
在中,,米,
∴(米),
(米),
∴(米).
在中,
.
∴点到三点的距离之和最小值为米.
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【题目】如图,直线l:y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,动点M从点A以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)将直线l向上平移4个单位后得到直线l',交y轴于点C.求直线l′的函数表达式;
(3)设点M的移动时间为t,当t为何值时,△COM≌△AOB,并求出此时点M的坐标.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=4cm.BC=5cm,P是上的动点.设A,P两点间的距离为xcm,
B,P两点间的距离为cm,C,P两点间的距离为cm.
小腾根据学习函数的经验,分别对函数,随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小腾的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了,的几组对应值:
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
/cm | 4.00 | 3.69 | 2.13 | 0 | |
/cm | 3.00 | 3.91 | 4.71 | 5.23 | 5 |
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,),(x,),并画出函数,的图象:
(3)结合函数图象.
①当△PBC为等腰三角形时,AP的长度约为____cm.
②记所在圆的圆心为点O,当直线PC恰好经过点O时,PC的长度约为_____cm.
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【题目】我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出,“周三径一”不是圆周率值,实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值(图1).刘徽发现,圆内接正多边形边数无限增加时,多边形的周长就无限逼近圆周长,从而创立“割圆术”,为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法.如图2,六边形是圆内接正六边形,把每段弧二等分,作出一个圆内接正十二边形,连结交于点若,则的长为( )
A.B.C.D.
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【题目】全球已经进入大数据时代,大数据()是指数据规模巨大,类型多样且信息传播速度快的数据库体系.大数据在推动经济发展,改善公共服务等方面日益显示出巨大的价值为创建大数据应用示范城市,我市某机构针对市民最关心的四类生活信息进行了民意调查(被调查者每人限送一项),下面是根据调查结果绘制出不完整的两个统计图表:
生活信息关注度条形统计图
A:政府服务信息 B:城市医疗信息 C:交于资源信息 D:交通信息
生活信息关注度扇形统计图
请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)本次参与调查的人数是______,扇形统计图中部分的圆心角的度数是_______.并补全条形统计图;
(2)这次调查的市民最关心的四类生活信息的众数是_______类;
(3)若我市现有常住人口约600万,请你估计最关心“城市医疗信息”的人数.
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【题目】如图,抛物线的图象与轴交于,两点,与轴交于点,它的对称轴是直线.
(1)求抛物线的表达式;
(2)连接,求线段的长;
(3)若点在轴上,且为等腰三角形,请求出符合条件的所有点的坐标.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,BE⊥CD于点E,DF⊥BC于点F.
(1)求证:BF=DE;
(2)分别延长BE和AD,交于点G,若∠A=45°,求的值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象与y轴交于点A,与抛物线的对称轴交于点B,将点A向右平移5个单位得到点C,连接AB,AC得到的折线段记为图形G.
(1)求出抛物线的对称轴和点C坐标;
(2)①当时,直接写出抛物线与图形G的公共点个数.
②如果抛物线与图形G有且只有一个公共点,求出a的取值范围.
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【题目】如图,点A,B,C,D在⊙O上,弦AD的延长线与弦BC的延长线相交于点E.用①AB是⊙O的直径,②CB=CE,③AB=AE中的两个作为题设,余下的一个作为结论组成一个命题,则组成真命题的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
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