Question

如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数y=

m

x

（m≠0）的图象有公共点A（1，2），直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B、C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB最小，请求出点P的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）把A的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可求解；
（2）过A作AD⊥BC，垂足为D，首先求得B、C的坐标，则BC即可求得，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（3）作点A关于x轴的对称点A'，求得直线BA'解析式，直线与x轴的交点就是所求．

解答：解：（1）将A（1，2）代入一次函数解析式得：k+1=2，即k=1，
∴一次函数解析式为y=x+1；           
将A（1，2）代入反比例解析式得：m=2，
∴反比例解析式为y=

2

x

；                 
（2）过A作AD⊥BC，垂足为D，
则AD=3-1=2，
对于y=x+1，令x=3，则y=3+1=4，
∴B（3，4）．
对于 y=

2

x

，令x=3则y=

2

3

，
∴C（3，

2

3

）．
∴BC=3-

2

3

=

10

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×

10

3

×2=

10

3

；
（3）作点A关于x轴的对称点A'，易知A'坐标为（1，-2），
连结BA'，则直线BA'与x轴的交于点P，点P为所求．
设直线BA'解析式为y=ax+b（a≠0），得

3a+b=4 a+b=-2

，解得：

a=3 b=-5

．
∴y=3x-5                             
令y=0，则3x-5=0，
∴x=

5

3

．
∴P的坐标是（

5

3

，0）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及三角形的面积的计算，确定P的位置是关键．