Question

【题目】已知：如图，点P是半径为5cm的⊙O外的一点，OP= 13cm，PT切⊙O于T点，过点P作PB（PB>PA），设PA= x，PB= y。

（1）求y与x的函数解析式，并确定自变量x的取值范围；

（2）这个函数有最大值吗？若有求出此时△PBT的面积，若没有，请说明理由；

（3）是否存在这样的PB，使得，若存在，请求出PA的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=(8<x<12);(2)有最大值，当PAB与PO重合时y最大， y最大=18, 这时;

（3）存在这样的PB，A是PB的中点，这时，PA=x=6.

【解析】

（1）连接圆心和切线，求得切线长，利用切割线定理可求得y关于x的函数解析式；（2）根据自变量的取值，求得函数的最值，进而求得面积；（3）利用三角形相似的面积求得相应的对应边的长.

（1）连接OT，∵PT切⊙O于T点，

∴∠OTP=90°，

∵OP=13cm，OT=5cm，

∴PT=12,

∵PT为切线，

∴PT2=PA×PB

∴xy=144，

∴y=(8<x<12);

（2）由（1）得x=8时，y最大=18，此时TB为直径，TB=10，

∴S△PBT=

（3）∵∠TPA=∠TPA, ∠PTA=∠PBT,

∴△PTA∽△PBT

∵

∴PA：PT=1：

∵PT=12，

∴PA=6

∵在自变量的取值范围内，故存在.