Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过点A（x1，y1）、C（x2，y2），其中x1、x2是方程x2﹣2x﹣8＝0的两根，且x1＜x2，过点A的直线l与抛物线只有一个公共点

（1）求A、C两点的坐标；

（2）求直线l的解析式；

（3）如图2，点B是线段AC上的动点，若过点B作y轴的平行线BE与直线l相交于点E，与抛物线相交于点D，过点E作DC的平行线EF与直线AC相交于点F，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，2），C（4，8） （2）y＝﹣2x﹣2 （3）

【解析】

（1）解一元二次方程即可得出点A，C坐标；

（2）先设出直线l的解析式，再联立抛物线解析式，用△＝0，求出k的值，即可得出直线l的解析式；

（3）设出点B的坐标，进而求出BC，再表示出点D，E的坐标，进而得出BD，BE，再判断出△BDC∽△BEF得出比例式建立方程即可求出BF．

（1）∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣8＝0的两根，且x1＜x2，

∴x1＝﹣2，x2＝4，

∴A（﹣2，2），C（4，8）；

（2）①设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），

∵A（﹣2，2）在直线l上，

∴2＝﹣2k+b，

∴b＝2k+2，

∴直线l的解析式为y＝kx+2k+2①，

∵抛物线y＝x2②，

联立①②化简得，x2﹣2kx﹣4k﹣4＝0，

∵直线l与抛物线只有一个公共点，

∴△＝（2k）2﹣4（﹣4k﹣4）＝4k2+16k+16＝4（k2+4k+4）＝4（k+2）2＝0，

∴k＝﹣2，

∴b＝2k+2＝﹣2，

∴直线l的解析式为y＝﹣2x﹣2；

②平行于y轴的直线和抛物线y＝x2只有一个交点，

∵直线l过点A（﹣2，2），

∴直线l：x＝﹣2；

（3）由（1）知，A（﹣2，2），C（4，8），

∴直线AC的解析式为y＝x+4，

设点B（m，m+4），

∵（4.8），

∴BC＝|m﹣4|＝（4﹣m）

∵过点B作y轴的平行线BE与直线l相交于点E，与抛物线相交于点D，

∴D（m，m2），E（m，﹣2m﹣2），

∴BD＝m+4﹣m2，BE＝m+4﹣（﹣2m﹣2）＝3m+6，

∵DC∥EF，

∴△BDC∽△BEF，

∴ ，

∴ ，

∴BF＝6．