Question

【题目】阅读理解：

给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的 2 倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形 A1B1C1D1是矩形 ABCD 的“加倍”矩形．请你解决下列问题：

（1）边长为 a 的正方形存在“加倍”正方形吗？如果存在，求出“加倍”正方形的边长；如果不存在，说明理由．

（2）当矩形的长和宽分别为 m，n 时，它是否存在“加倍”矩形？请作出判断，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）不存在．理由见解析；（2）存在．理由见解析.

【解析】

（1）根据所有的正方形都相似由相似比确定面积比后即可做出判断；

（2）设“加倍”矩形的长和宽分别为x，y，可得的关系，分析可得x，y就是关于A的方程A2-2（m+n）A+2mn=0的两个正根，判断可得：△=4（m2+n2）＞0，故存在“加倍”矩形．

根据给出的两边长得到周长，然后设出其中一边，表示出另一边根据题意列出方程求解，若能求得答案即存在，否则就不存在．

（1）不存在．

因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为 2 时，则面积比必定是 4，所以不存在．

（相同解答均可给分，如：满足周长是 2 倍时，则面积就成了 4 倍，所以不存在）

（2）存在．

设“加倍”矩形的长和宽分别为 x，y．

则：．

x，y 就是关于 A 的方程 A2﹣2（m+n）A+2mn＝0 的两个正根．

∵△＝[﹣2（m+n）]2﹣8mn＝4(m2+n2)．

此题中，m＞0，n＞0．

∴△＝4（m2+n2）＞0．

∴方程有两个不相等的正实数根 x 和 y.

即：存在一个矩形是已知矩形的“加倍”矩形.