Question

【题目】已知抛物线的开口向上顶点为P

（1）若P点坐标为（4，一1），求抛物线的解析式；

（2）若此抛物线经过（4，一1），当－1≤x≤2时，求y的取值范围（用含a的代数式表示）

（3）若a＝1，且当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为6，求b的值

Answer 1

【答案】（1）；（2）1－4a≤y≤4＋5a；（3）b＝2或－10.

【解析】

（1）将P（4，-1）代入，可求出解析式
（2）将（4，-1）代入求得：b=-4a-1，再代入对称轴直线 中，可判断，且开口向上，所以y随x的增大而减小，再把x=-1，x=2代入即可求得．
（3）观察图象可得，当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为6，这些点可能为x=0，x=1，三种情况，再根据对称轴在不同位置进行讨论即可．

解：（1）由此抛物线顶点为P（4，-1），

所以y＝a（x-4）2-1＝ax2－8ax＋16a－1，即16a－1＝3，解得a=， b=-8a=-2

所以抛物线解析式为：；

（2）由此抛物线经过点C（4，－1），

所以 一1＝16a＋4b＋3，即b＝－4a－1．

因为抛物线的开口向上，则有

其对称轴为直线，而

所以当－1≤x≤2时，y随着x的增大而减小

当x＝－1时，y=a+(4a+1)+3=4+5a

当x＝2时，y=4a-2(4a+1)+3=1-4a

所以当－1≤x≤2时，1－4a≤y≤4＋5a；

（3）当a＝1时，抛物线的解析式为y＝x2＋bx＋3

∴抛物线的对称轴为直线

由抛物线图象可知，仅当x＝0，x＝1或x＝－时，抛物线上的点可能离x轴最远

分别代入可得，当x＝0时，y=3

当x=1时，y＝b＋4

当x=-时,y=-+3

①当一＜0，即b＞0时，3≤y≤b+4，

由b＋4＝6解得b＝2

②当0≤-≤1时，即一2≤b≤0时，△＝b2－12＜0，抛物线与x轴无公共点

由b＋4＝6解得b＝2(舍去)；

③当 ，即b＜－2时，b＋4≤y≤3，

由b＋4＝－6解得b＝－10

综上，b＝2或－10