Question

【题目】（1）如图1，长方形ABCD中分别沿AF、CE将AC两侧折叠，使点B、D分别落在AC上的G、H处，则线段AE______CF．（填“＞”“＜”或“=”）

（2）如图2，在平行四边形ABCD中，△ABF≌△CDE，AB=10cm，BF=6cm，AF=8cm，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．

①若点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，设运动时间为t秒．当点P在FB上运动，而点Q在DE上运动时，若四边形APCQ是平行四边形，求此时t的值．

②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），利用备用图探究，当a与b满足什么数量关系时，四边形APCQ是平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）①秒；②a+b=24（ab≠0）

【解析】

（1）根据内错角相等得出AF∥CE，由两对应边互相平行得出AFCE是平行四边形，即可得出AE=CF；

（2）①当P点在BF上，Q点在ED上时，能构成平行四边形，根据平行四边形的性质，列出方程求解即可；

②分三种情况：当点P在AF上，Q点在CE上时，AP=CQ；当点P在BF上，Q点在DE上时，AQ=CP；当点P在AB上，Q点在CD上时，AP=CQ，分别得出a与b满足的数量关系式．

解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠BAC=∠DCA，

由折叠的性质可知，∠FAC=∠BAC=∠DCA=∠ECA，

∴AF∥CE，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∴AE=CF．

故答案为：=；

（2）①∵在平行四边形ABCD中，△ABF≌△CDE，

∴AE=CF，BF=DE=6cm，AB=CD=10cm，

∵如图2，当P点在BF上，Q点在ED上，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，

∴FP=EQ，

∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，

∴PF=5t-8，QE=16-4t，

∴5t-8=16-4t，

解得t=，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=秒；

②由题意得，以A，C，P，Q四点的四边形是平行四边形时，点P、Q在相互平行的对边上，

分三种情况：

Ⅰ．如图3，当点P在AF上，Q点在CE上时，AP=CQ，

即a=24-b，得：a+b=24；

Ⅱ．如图4，当点P在BF上，Q点在DE上时，AQ=CP，

又∵AE=CF，

∴EQ=FP，

即16-b=a-8，得a+b=24；

Ⅲ．如图5，当点P在AB上，Q点在CD上时，AP=CQ，

即24-a=b，得a+b=24．

综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=24（ab≠0）．