Question

【题目】如图，P为正方形ABCD的对角线上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F．

（1）判断DP与EF的关系，并证明；

（2）若正方形ABCD的边长为6，∠ADP：∠PDC＝1：3．求PE的长．

Answer 1

【答案】（1）DP＝EF，且DP⊥EF，理由见解析；（2）6﹣3

【解析】

（1）如图1，连接PB，由正方形的性质得到BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，接下来证明△CBP≌△CDP，于是得到DP＝BP，然后证明四边形BFPE是矩形，由矩形的对角线相等可得到BP＝EF，从而等量代换可证得DP＝EF；如图2，延长DP交EF于G，延长EP交CD于H，连接PB，由△CBP≌△CDP，依据全等三角形对应角相等可得到∠CDP＝∠CBP，由四边形EPFB是矩形可证明∠CBP＝∠FEP，从而得到∠HDP＝∠FEP，由∠DPH+∠PDH＝90°可证明∠EPG+∠PEG＝90°，从而可得到DP⊥EF；

（2）先根据勾股定理计算AC，根据∠ADP：∠PDC＝1：3和三角形内角和定理可得∠CPD＝∠CDP，计算AP，由△AEP是等腰直角三角形，可得PE的长．

解：（1）DP＝EF，且DP⊥EF，理由是：

如图1所示：连接PB，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，

∵在△CBP和△CDP中，

，

∴△CBP≌△CDP（SAS），

∴DP＝BP，

∵PE⊥AB，PF⊥BC，

∴∠PEB＝∠ABC＝∠PFB＝90°，

∴四边形BFPE是矩形，

∴BP＝EF，

∴DP＝EF；

如图2所示：延长DP交EF于G，延长EP交CD于H，连接PB．

∵△CBP≌△CDP，

∴∠CDP＝∠CBP，

∵四边形BFPE是矩形，

∴∠CBP＝∠FEP，

∴∠CDP＝∠FEP，

又∵∠EPG＝∠DPH，

∴∠EGP＝∠DHP，

∵PE⊥AB，AB∥DC，

∴PH⊥DC．即∠DHP＝90°，

∴∠EGP＝∠DHP＝90°，

∴PG⊥EF，即DP⊥EF；

（2）Rt△ADC中，AD＝CD＝6，

∴AC＝＝6，

∵∠ADP：∠PDC＝1：3，∠ADC＝90°，

∴∠CDP＝67.5°，

∵∠DCP＝45°，

∴∠CPD＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，

∴∠CPD＝∠CDP，

∴PC＝CD＝6，

∴AP＝6﹣6，

∵∠EAP＝45°，∠AEP＝90°，

∴△AEP是等腰直角三角形，

∴PE＝＝6﹣3．