Question

10．已知圆O，
（1）求作圆O的内接正六边形ABCDEF；（要求尺规作图，保留作图痕迹）
（2）若圆O的半径为2，计算弦AB与弧$\widehat{AB}$所形成的面积．

Answer 1

分析 （1）先作半径OA，再以OA为半径在⊙O上依次截取$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{DE}$=$\widehat{EF}$=$\widehat{FA}$，然后顺次连结AB、BC、CD、DE、EF、FA即可；
（2）根据正六边形的性质得∠AOB=60°，则可判断△OAB为等边三角形，然后根据扇形面积公式、等边三角形面积公式和弦AB与弧$\widehat{AB}$所形成的面积=S_扇形AOB-S_△AOB进行计算．

解答 解：（1）如图，

（2）∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=$\frac{360°}{6}$=60°，
∵OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴弦AB与弧$\widehat{AB}$所形成的面积=S_扇形AOB-S_△AOB
=$\frac{60•π•{2}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•2²
=$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了正多边形与圆、扇形面积的计算．