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【题目】如图1,两个全等的ABC和DEF中,ACB=DFE=90°,AB=DE,其中点B和点D重合,点F在BC上,将DEF沿射线BC平移,设平移的距离为x,平移后的图形与ABC重合部分的面积为y,y关于x的函数图象如图2所示(其中0xm,mx3,3x4时,函数的解析式不同)

(1)填空:BC的长为

(2)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.

【答案】(1)4(2)

【解析】

试题分析:(1)通过图2观察可知y=0时x=4,即D点从B运动到C平移的距离为4;

(2)当DEF在平移过程中,与ABC的重合部分有三种情况,将三种图形分别画出,通过作辅助线构造相似三角形,通过相似三角形对应边的关系,将各边用x表示出来,即可以列出y与x的函数关系式.

试题解析:(1)由图2得当x=4时,y=0,说明此时DEF与ABC无重合部分,

则点D从B到C运动的距离为4,即BC=4;

故答案为:4.

(2)当DE经过点A时(如图1),BD=3,CD=1,

∵△ABC≌△DEF.

∴∠EDF=BAC.

∵∠ACD=BCA

∴△ADC∽△BAC.

AC=2

n=2

当0x2时(如图2),

设ED、EF与AB分别相交于点M,G,作MNBC,垂足为N.

MNB=90°=EFD=C.

∵∠MDN=EDF.

∴△DMN∽△DEF.

MN=2DN.

设DN=n,则MN=2n.

同理BMN∽△BAC.

BN=4n,即x+n=4n.

n=x.

SBDM=BDMN=

同理BGF∽△BAC

GF=

y==

当2x3时(如图3),

由①知, =x2

y= =

当3x4时(如图4),

设DE与AB相交于点H.

同理DHC∽△DEF.

HC=24﹣x.

y==x2﹣8x+16

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