Question

如图，△ABC内接于⊙O，CD是△ABC的高，CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的面积．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：如图，作辅助线，首先证明△CAD∽△CEB，进而得到CE=

CA•CB

CD

；运用勾股定理求出AC、BC的长度即可解决问题．

解答：解：如图，作直径CE，连接BE；
则∠CBE=90°；
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°；
又∵∠A=∠E，
∴△CAD∽△CEB，
∴

CA

CE

=

CD

CB

，
∴CE=

CA•CB

CD

；
由勾股定理得：
AC²=6²+3²=45，BC²=8²+6²=100，
∴AC=3

5

，BC=10，
∴CE=

3 5 ×10

6

=5

5

，
∴⊙O的半径r=

5 5

2

，
∴⊙O的面积=π•(

5 5

2

)2=

125π

4

．

点评：该命题以圆为载体，以圆周角定理及其推论、勾股定理的应用为考查的核心构造而成；同时还渗透了对相似三角形的判定及其应用等几何知识点的考查；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．