Question

11．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．
（1）求证：AC平分∠OAB．
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB=4，∠AOE=30°，求PE的长．

Answer 1

分析 （1）用平行线及角平分线的性质证明AC平分∠OAB．
（2）利用勾股定理解直角三角形即可．

解答 （1）证明：∵AB∥OC，
∴∠C=∠BAC．
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC．
∴∠BAC=∠OAC．
即AC平分∠OAB．

（2）解：∵OE⊥AB，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2．
又∵∠AOE=30°，∠PEA=90°，
∴∠OAE=60°．
∴∠EAP=$\frac{1}{2}$∠OAE=30°，
∴PE=AE×tan30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题考查了垂径定理，勾股定理，含30°直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．