Question

9．如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4，
（1）证明：?ABCD是矩形；
（2）求：?ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形性质求出OA=OB=AB，根据平行四边形的性质求出OA=OC，OB=OD，求出AC=BD，根据矩形的判定得出即可；
（2）求出AC、根据勾股定理求出BC，根据面积公式求出即可．

解答 （1）证明：∵△ABO是等边三角形，
∴OA=OB=AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴OA=OC=OB=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵OA=AB=4，AC=2OA=8，
∴由勾股定理得：BC=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴?ABCD的面积是BC×AB=4$\sqrt{3}$×4=16$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能求出四边形ABCD是矩形是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．