Question

17．在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG．
（1）如图1，请判断EG和CG的关系，并证明．
（2）将△BEF绕点B顺时针旋转一定的角度，使得点F落在DC延长线上，取FD的中点G，连接EG、CG，如图2，
请判断EG和CG的关系，并证明．
（3）将△BEF绕点B旋转任意一个角度，如图3，请判断EG和CG的关系，不用证明．

Answer 1

分析 （1）过点G作GH⊥BD于G交CD于H，通过条件证明△HGE≌△ICG，就可以得出结论EG=CG，EG⊥CG；
（2）过点E作EH⊥BC交BC于点H，易证出△EHB≌△EGF，即可得出EG=CG，EG⊥CG；
（3）特殊情况，如图3，过点E作EH⊥AD交AD的延长线于点H，作EM⊥BC，交BC的延长线于点M，易证出△EHF≌△BME，再证出△GHE≌△CDG即可得出结论．
一般情况，如图4，过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，再判断出∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC，易得△MEC是等腰直角三角形，即可得出EG=CG，EG⊥CG．

解答 证明：（1）EG=CG，且EG⊥CG．
如图，过GH⊥AB于点H，延长HG交CD于点I，作GK⊥AD于点K．

则四边形GIDK是正方形，四边形AKGH是矩形，
∴AK=HG，KD=DI=GI=AH，
∵AD=CD，
∴IC=HG，
∵AD∥GH∥EF，G是DF的中点，
∴HA=HE，
∴HE=GI，
∵在Rt△HGE和Rt△ICG中，
$\left\{\begin{array}{l}{HE=GI}\\{∠GHE=∠CIG}\\{HG=IC}\end{array}\right.$，
∴Rt△HGE≌Rt△ICG（SAS），
∴EG=CG，∠HGE=∠GCI，∠HEG=∠CGI，
∴∠HGE+∠CGI=90°，
∴∠EGC=90°，
∴EG⊥CG；
（2）EG=CG，且EG⊥CG．
如图2，

连接DE，过点E作EM⊥BD于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCF=∠BME=90°，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴BD=$\sqrt{2}$BC，∠CBD=45°，
由旋转知，∠EBF=45°，
∴∠EBM=∠CBF，
∵∠BME=∠BCF=90°，
∴△BME∽△BCF，
∴$\frac{BM}{BC}=\frac{BE}{BF}$，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=$\sqrt{2}$BE，
∴BC=$\sqrt{2}$BM，
∴BD=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$BM=2BM，
∴BM=DM，
∵EM⊥BD，
∴BE=DE，
∵BE=EF，
∴DE=EF，
∵点G是DF的中点，
∴EG⊥CG
过点E作EH⊥BC交BC于点H，
∴HE⊥EG，
∵∠BEH+∠HEF=90°，∠FEG+∠HEF=90°，
∴∠BEH=∠FEG，
在△EHB和△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EHB=∠EGF}\\{∠BEH=∠FEG}\\{BE=FE}\end{array}\right.$，
∴△EHB≌△EGF（AAS），
∴EH=EG，
∴四边形EHCG是正方形，
∴EG=CG，且EG⊥CG；
方法2、如图，

延长EG至M使GM=GE，连接DE，DM，FM，CE，
∵点G是DF的中点，
∴DG=FG，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴DM=EF，∠CDM=∠CFE，
∵∠CFE+∠CNF=90°，
∴∠CDM+∠CNF=90°，
∵∠CNF=∠BNE，
∴∠CDM+∠BNE=90°，
∵∠EBN+∠BNE=90°，
∴∠CBE=∠CDM，
∵BE=EF，
∴BE=DM，
在△CBE和△CDM中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=DM}\\{∠CBE=∠CDM}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△CDM，
∴CE=CM，
∵GE=GM，
∴△ECM是等腰三角形，
∴CG⊥EG，
过点E作EH⊥BC交BC于点H，
∴HE⊥EG，
∵∠BEH+∠HEF=90°，∠FEG+∠HEF=90°，
∴∠BEH=∠FEG，
在△EHB和△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EHB=∠EGF}\\{∠BEH=∠FEG}\\{BE=FE}\end{array}\right.$，
∴△EHB≌△EGF（AAS），
∴EH=EG，
∴四边形EHCG是正方形，
∴EG=CG，且EG⊥CG；


（3）EG=CG，且EG⊥CG．
特殊情况，如图3，如果旋转到点F落在AD上时，
过点E作EH⊥AD交AD的延长线于点H，作EM⊥BC，交BC的延长线于点M，

∵∠HEF+∠MEB=90°，∠EBM+∠MEB=90°，
∴∠HEF=∠EBM，
在△EHF和△BME，
$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠M}\\{∠HEF=∠EBM}\\{EF=BE}\end{array}\right.$
∴△EHF≌△BME（AAS），
∴HE=BM，ME=HF，
∵AF+DF=ME+EH，即AF+DF=AF+2HE，且点G是FD的中点，
∴HE=DG，
∴HF+FG=AD=CD，
在△GHE和△CDG，
$\left\{\begin{array}{l}{HE=GD}\\{∠H=∠GDC}\\{HG=CD}\end{array}\right.$
∴△GHE≌△CDG（SAS），
∴EG=CG，且EG⊥CG．

一般情况，如图4，
过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．记EF交AB于P，
∴∠MFN=90°，
∵G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，
∵BC=CD，
∴BC=FM，
∵∠BNF=∠ABC=90°，∠BPE=∠FPN，
∴∠ABE=∠EFN，
∴∠ABE+∠ABC=∠EFN+∠MFN，
∴∠EBC=∠EFM，
∵BE=EF
∴△EFM≌△EBC，
∴∠FEM=∠BEC，EM=EC
∵∠FEC+∠BEC=90°，
∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
∵G为CM中点，
∴EG=CG，EG⊥CG．

点评 本题主要考查了四边形综合题，涉及三角形全等的判定及性质，正方形的性质等知识，解题的关键是构造三角形全等．