Question

18．已知，如图，AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于点P．
（1）求证：PC=PB；
（2）求证：∠CAP=∠BAP；
（3）由（2）的结论，你能设计一种画角的平分线的方法吗？

Answer 1

分析 （1）首先证明△AEB≌△ADC可得∠C=∠B，再证明△CEP≌△BDP可得PC=PB；
（2）直接证明△CAP≌△BAP可得∠CAP=∠BAP；
（3）根据此题的条件可得画法．

解答 （1）证明：在△ADC和△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAB=∠DAC}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠C=∠B，
∵AB=AC，AD=AE，
∴AC-AE=AB-AD，
∴EC=DB，
在△EPC和△DPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠EPC=∠DPB}\\{DB=EC}\end{array}\right.$，
∴△CEP≌△BDP（AAS），
∴PC=PB；

（2）证明：在△ACP和△ABP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠C=∠B}\\{CP=BP}\end{array}\right.$，
∴△CAP≌△BAP（SAS），
∴∠CAP=∠BAP；

（3）解：在∠A的两边上分别截取AC=AB，AE=AD，再连接CD，BE，两线交于点P，再画射线AP即可．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理：SAS、SSS、ASA、AAS、HL．