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    14．如图，二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．
    （1）点E（$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，m）是抛物线上一点，求∠AOE的度数；
    （2）动点P在线段OB上以每秒1个单位长的速度从O点出发向B点运动，同时动点Q在线段BC上以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度从C点出发向B点运动，设运动时间为t，求△OPQ面积的最大值和对应时间t的值；
    （3）当△OPQ面积最大时，直线PQ与抛物线在第四象限相交于点N，在直线AN上有一动点M，N点关于x轴的对称点为M1，M关于y轴的对称点为M2，是否存在M点使△M1M2D为直角三角形？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）求出E点坐标，进而可得出结论；
    （2）先根据题意判断出△BPQ是直角三角形，再由三角形的面积公式即可得出结论；
    （3）先求出直线AN的解析式，再用m表示出点M，M1，M2的坐标，分M1M22=M1D2+M2D2，M1D2=M1M22+M2D2及M2D2=M1M22+M1D2三种情况进行讨论．

    解答 解：（1）∵令x=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，则y=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，
    ∴∠BOE=45°，
    ∴∠AOE=180°-45°=135°；

    （2）∵B（3，0），C（0，-3）
    ∴△OBC是等腰直角三角形，
    ∵动点P在线段OB上以每秒1个单位长的速度从O点出发向B点运动，同时动点Q在线段BC上以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度从C点出发向B点运动，
    ∴△BPQ是直角三角形，
    ∴S=$\frac{1}{2}$t（3-t），
    ∴抛物线的对称轴为t=$\frac{3}{2}$，
    ∴当t=$\frac{3}{2}$时，S最大=$\frac{9}{8}$；

    （3）∵n=$\frac{3}{2}$，
    ∴y=（$\frac{3}{2}$）2-2×$\frac{3}{2}$-3=-$\frac{15}{4}$，
    ∴N（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．
    ∵A（-1，0），
    ∴直线AN的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$．
    设M（m，-$\frac{3}{2}$m-$\frac{3}{2}$），则M1（m，$\frac{3}{2}$m+$\frac{3}{2}$），M2（-m，-$\frac{3}{2}$m-$\frac{3}{2}$）．
    ∵D（1，-4），
    ∴M1M22=（2m）2+（3m+3）2=13m2+18m+9，
    M1D2=（m-1）2+（$\frac{3}{2}$m+$\frac{11}{2}$）2=$\frac{13}{4}$m2+$\frac{29}{2}$m+$\frac{125}{4}$．
    M2D2=（m+1）2+（$\frac{3}{2}$m-$\frac{5}{2}$）2=$\frac{13}{4}$m2-$\frac{11}{2}$m+$\frac{29}{4}$．
    ①∵当M1M22=M1D2+M2D2，即13m2+18m+9=$\frac{13}{2}$m2+9m+$\frac{77}{2}$，
    ∴m=$\frac{-8±8\sqrt{53}}{26}$=$\frac{-9±4\sqrt{53}}{13}$，
    ∴-$\frac{3}{2}$（m+1）=-$\frac{3}{2}$•$\frac{4±4\sqrt{53}}{13}$=$\frac{6±6\sqrt{53}}{13}$，
    ∴M（$\frac{-9+4\sqrt{53}}{13}$，-$\frac{6+6\sqrt{53}}{13}$）或M（$\frac{-9-4\sqrt{53}}{13}$，-$\frac{6-6\sqrt{53}}{13}$）；
    ②当M1D2=M1M22+M2D2，即$\frac{13}{4}$m2+$\frac{29}{2}$m+$\frac{125}{4}$=13m2+18m+9+$\frac{13}{4}$m2-$\frac{11}{2}$m+$\frac{29}{4}$，
    整理得：13m2-2m-15=0，解得m=$\frac{15}{13}$或m=-1，
    ∴M（$\frac{15}{13}$，-$\frac{42}{13}$）或M（-1，0）；
    ③当M2D2=M1M22+M1D2，即$\frac{13}{4}$m2-$\frac{11}{2}$m+$\frac{29}{4}$=13m2+18m+9+$\frac{13}{4}$m2+$\frac{29}{2}$m+$\frac{125}{4}$，
    ∴13m2+38m+33=0，
    ∴△=382-4×13×33=1444-1716＜0，
    ∴此种情况不存在．
    综上所示，M（$\frac{-9+4\sqrt{53}}{13}$，-$\frac{6+6\sqrt{53}}{13}$）或M（$\frac{-9-4\sqrt{53}}{13}$，-$\frac{6-6\sqrt{53}}{13}$）或M（$\frac{15}{13}$，-$\frac{42}{13}$）或M（-1，0）．

    点评 本题考的查是二次函数综合题，涉及到抛物线上点的坐标特点、三角形的性质及勾股定理等知识，难度较大，在解答（3）时要注意进行分类讨论．

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    （2）设四边形BCQP的面积为S（单位：cm 2），求s与t之间的函数关系式．
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    （3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．

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