Question

15．已知：如图，平面直角坐标系中，点B坐标为（-4，0），点A为线段OB中点，点P在第三象限，且AP⊥y轴，PF⊥y轴，D为BP中点，连接DA并延长交y轴于点C，FE⊥DC．
（1）直接写出点A坐标（-2，0）；
（2）求证：BP=AC；
（3）若点E为AC中点，连接PE，判断△PEF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点B的坐标以及中点的定义即可解决问题．
（2）只要证明△PBA≌△CAO即可．
（3）如图延长PE交y轴于M．由△PAE≌△MCE，推出EP=EM，由∠PFM=90°，推出EF=PE（直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半）．

解答 （1）解：∵B（-4，0），AB=OA，
∴点A坐标为（-2，0）．
故答案为（-2，0）

（2）证明：∵PA⊥AB，
∴∠BAP=∠AOC=90°，
∵BD=DP，
∴AD=DB=PD，
∴∠ABP=∠BDA=∠CAO，
在△PBA和△CAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAB=∠AOC}\\{AB=AO}\\{∠ABP=∠CAO}\end{array}\right.$，
∴△PBA≌△CAO，
∴PB=CA．

（3）解：结论：△PEF是等腰三角形．
理由：如图延长PE交y轴于M．
∵PA∥CM，
∴∠PAE=∠MCE，
在△PAE和△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAE=∠MCE}\\{AE=EC}\\{∠AEP=∠CEM}\end{array}\right.$，
∴△PAE≌△MCE，
∴EP=EM，
∵∠PFM=90°，
∴EF=PE（直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半）．
∴△PEF是等腰三角形．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．